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1.某班期末考试结束，统计优秀成绩的人数，数学优秀的有人，语文优秀的有人，英语优秀的人数有人，数学、英语两科都是优秀的有人，数学、语文都是优秀的有人，语文、英语都是优秀的有人，三科都没得优秀成绩的有人，这个班最多有多少人？（  ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（E）
【答案】C
【知识点】容斥问题
【解析】
由题意可设语数英都优秀的有人，则只有数学和英语优秀有人，只有英语和语文优秀的有人，只有数学和语文优秀的有人，则可得这个班级的人数为：，又因为是三个集合的交集，所以最大的值只能为7，故人数最多为人。故本题选择C。
2．在一堂物理课上，老师出了、、三道题，至少做对一道的有人，其中做对题的有人，做对题的有人，做对题的有人，三道题都做对的只有人，只做对两道题的有多少人？（   ）.
（A）
（B）
（C）
（D）
（E）
【答案】B
【知识点】容斥问题
【解析】
根据题意可知，至少做对一道题有人可以理解为只有人是回答对了题目的，由题意可设只做对两道题的有人，则通过三者容斥公式可得：，解得。故本题选择B。
3. 甲、乙、丙、丁四人一起参加一次数学考试，已知考试总共有80道题，且甲做对了69道题，乙做对了65道，丙做对了71道，丁做对了59道，问甲、乙、丙丁四人都做对的题目至少有多少道？（   ）.
（A）
（B）
（C）
（D）
（E）
【答案】D
【知识点】容斥极值问题
【解析】
由题意可知，根据容斥极值公式，甲、乙、丙、丁四人都做对的题目至少有：。故本题选择D。
4.经统计发现，某班级既喜欢英语又喜欢数学有人，既喜欢英语又喜欢语文的有人，既喜欢数学又喜欢语文有人，则该班级至少有45人.
（）该班级有位同学喜欢数学，位同学喜欢英语，位同学喜欢语文
（）该班级有位同学喜欢数学，位同学喜欢英语，位同学喜欢语文
【答案】D
【知识点】容斥问题
【解析】
根据题意可设语文、数学、英语都喜欢的有人，则有：
条件（1）：则可知只喜欢数学和英语的有人，只喜欢数学和语文的有人，只喜欢语文和英语的有人，则三个集合的并集为：
，要使班级人数最少，则，，故充分。
条件（2）：对比条件（1）同理可得：，要是班级人数最少，则，，故充分。所以本题选择答案D。
5.某班进行期末考试，学校评定分以上的为优秀，语文优秀的有人，数学优秀的有人，则两科都不是优秀的有人.
（）该班有人
（2）两科都是优秀的有人
【答案】C
【知识点】容斥问题
【解析】
条件（1）：无法求出至少一科优秀的人数，缺乏条件，故不充分；
条件（2）：不知道班级具体人数，缺乏条件，故不充分；
条件（1）和条件（2）联合：两科至少有一科优秀的人数为：，又因为班级总人数为人，所以两科都不优秀的人数为：，所以充分，故选择答案C.
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