推断统计的数学基础

一、概率

(一)概率的定义

概率因寻求的方法不同有两种定义，即后验概率和先验概率。

1、后验概率的定义

以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率制作为随机事件A概率的估计值，这样寻得的概率称为后验概率。计算公式是 P(A)=lim m/n

2.先验概率的定义

先验概率是通过古典概率模型加以定义的，故又称为古典概率。古典概率模型要求满足两个条件：(1)试验的所有可能结果是有限的;(2)每一种可能结果出现的可能性(概率)相等。若所有可能结果的总数为n，随机事件A包括m个可能结果。

(二)概率的性质

1、任何随机事件A的概率都是介于0与1之间的正数;

2、不可能事件的概率等于0;

3、必然事件的概率等于1。

(三)概率的加法和乘法

1、概率的加法

在一次试验中不可能同时出现的事件称为互不相容的事件。

两个互不相容事件和的概率，等于这两个事件概率之和。 P(a+b)=P(a)+P(b)

2.概率的乘法

A事件出现的概率不影响B事件出现的概率，这两个事件为独立事件。

两个独立事件的概率，等于这两个事件概率的乘积。

P(A1,A2…An)=P(A1),P(A2)…P(An)

二、正态分布

正态分布是一种连续型随机变量的概率分布。

(一)正态曲线

1.正态曲线函数

正态曲线的函数式是公式

标准正态分布的函数式是公式

2.正态曲线的特点

(1)曲线在Z=0处为高点。

(2)曲线以Z=0处为中心，双侧对称。

(3)曲线从高点向左右缓慢下降，并无限延伸，但永远不与基线相交。

(4)标准正态分布上的平均数为0，标准差为1。

(5)曲线从高点向左右延伸时，在正负1个标准差是拐点。

(二)正态曲线的面积与纵线

1、累积正态分布函数

2、标准正态分布下面积的求法

3、正态曲线的纵线

(三)正态分布在测验计分方面的应用

1、将原始分数转换成标准分数

标准分数的意义：第一，各科标准分数的单位是绝对等价的;第二、标准分数的正负和大小可以反映出考生在全体考分中所处的地位。

2、确定录用分数线

3、确定等级评定的人数

三、二项分布

(一)二项试验

满足以下条件的试验称为二项试验：(1)一次试验只有两种可能结果，即和失败;(2)各次试验相互独立，互不影响;(3)各次试验中的概率相等。

(二)二项分布函数

二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。

用n次方的二项展开式来表达在n次二项试验中事件出现不同次数(X=0,1,…,n)的概念分布叫做二项分布。

二项展开式的通式(5.8)就是二项分布函数，运用这一函数式可以直接求出事件恰好出现X次的概率。

(三)二项分布图

从二项分布图可以看出，当p=q，不管n多大，二项分布呈对称形。当n很大时，二项分布接近于正态分布。当n趋近于无限大时，正态分布是二项分布的极限。

(四)二项分布的平均数和标准差

当二项分布接近于正态分布时，在n次二项实验中事件出现次数的平均数和标准差分别可以由公式(前提np≥5且nq≥5 )

平均数——M=np 标准差——r=npq1/2

(五)二项分布的应用

二项分布函eg:1.某市参加一考试2800人，录取150人，平均分数75分，标准差为8。问录取分数定为多少分?

解： X~N(75.82)

Z=(x-#)/σx=(x-15)/8 ～N(0,12)

P=150/2800=0.053

0.5-0.053=0.447

Z=1.615

X=1.615*8+75≈88(分)

2.某高考，平均500分，标准差100分，一考生650分，设当年录取10%，问该生是否到录取分?

解： Zo=(650-500)/100=1.5 (X～N(500,1002)(Z～N(0,12)

Po=0.5-0.43319=0.06681=6.681%<10%

所以可录取。

四、抽样原理与抽样方法

(一)随机化原理

(二)抽样方法

简单随机抽样

等距抽样

分层抽样

两阶段随机抽样

五、抽样分布

(一)正态分布

1、样本平均数分布

(1)总体分布为正态，方差已知，样本平均数的分布为正态分布

公式：

(2)总体非正态，方差已知，样本容量足够大(n>30)为渐近正态分布

公式同上

2、方差及标准差分布

公式：

(二)t分布

公式：

1、特点：⑴平均值为0

⑵以平均值0左右对称的分布

⑶变量取值从负无穷到正无穷

⑷当样本容量趋于无穷时，t分布为正态分布，方差为1。

2、t分布表的应用

3、样本平均数分布

(1)总体正态，方差未知，

公式：

(2)总体非正态，方差未知，满足n>30，近似t分布

(三)χ2 分布

1、抽样原理

2、公式：

3、特点：⑴χ2 分布是正偏态分布

⑵ χ2 值都是正的

⑶ χ2 分布的和也是χ2 分布

⑷如果df>2,这时μχ2 = df,σ2χ2 =2df

⑸ χ2 分布是连续型分布

4、 χ2 分布表

(四)F分布

1、F分布的原理

2、公式：

3、特点：⑴正偏态分布

⑵正值

⑶当分子的自由度为1，分母的自由度为任意值时，F分布与分母自由度相同概率的t值的平方相等。

4、F分布表