容斥问题是一种计数的数学问题，基本思想是：先不考虑重复的数据，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。容斥问题有两种解题方法：1、画图法；2、公式法。画图法可以解决所有的容斥问题，公式法可以解决一部分基础的容斥问题。在使用公式时需要注意题干描述以对应公式使用。
一、基本公式
两者容斥：
三者容斥：
二、典型例题
1.某市电视台向150位观众调查前一天晚上甲、乙两个频道的收视情况，其中108人看过甲频道，36人看过乙频道，23人即看过甲频道又看过乙频道，则接受调查观众中在前一天晚上两个频道均未看过的人数是（ ）.
（A） （B） （C） （D） （E）
【答案】C
【知识点】容斥问题
【解析】根据题意可设受调查观众在前一天晚上两个频道均未看过的人数为，根据二者容斥公式可列方程：。故本题选择C。
2.（2008）某班同学参加智力竞赛，共有三题，每题或得0分或得满分.竞赛结果无人得0分，三题全部答对的有1人，答对两题的有15人.答对题的人数和答对题的人数之和为29人，答对题人数和答对题的人数之和为25人，答对题的人数和答对题的人数之和为20人，那么该班的人数为（ ）.
（A） （B） （C） （D） （E）
【答案】A
【知识点】容斥问题
【解析】根据题意可知，现已知仅两层的人数，所以代入公式，可得。故本题选择A。
3.（2010）某公司的员工中，拥有本科毕业证、计算机等级证、汽车驾驶证的人数分别为.又知只有一种证的人数为140，三证齐全的人数为30，则恰有双证的人数为（ ）.
（A） （B） （C） （D） （E）
【答案】B
【知识点】容斥问题
【解析】根据题意可作图，如图所示，分别表示拥有本科毕业证、计算机等级证、汽车驾驶证的人数，可得，又知只有一种证的人数为140，其中表示拥有双证的人数，表示拥有三证的人数，则，则可得，则恰有双证的人数为人。故本题选择 B。
在容斥问题中，常结合画图帮助理解题干对应公式的具体部分。通常描述中带有仅字的为仅两层相交的部分。
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