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极限是考研数学的考点，在极限考查中，有一种难度较高、得分率较低的题型---利用单调有界收敛准则证明极限存在。这种题型求解方法固定，规律性很强。根据历年往年试题的规律，我们给大家总结出这类题的解题技巧，希望能对大家有所帮助。
一、单调有界准则
单调且有界的数列必收敛。
理解：单调递增且有上界的数列必收敛；单调递减且有下界的数列必收敛。
题型：已知数列极限的递推关系，试证数列的极限存在，并求此极限。
解题思路：
1）预判。令，递推关系两边同取极限，得到关于的方程，进而求出，对比数列前三项和该极限，确定证明方向。
2）先证有界性。
3）再证明单调性。
解题过程：
1）先证有界性。通过数学归纳法证。
2）再证单调性。通过单调性的定义证。
3）求该极限。
二、应用
【例1】：设，，试证数列的极限存在，并求此极限。
分析：
1）令，代入，有，解得或（舍，因为）
2），代入递推关系有，。
3）确定证明方向：证明单调递增且有上界。
证明：
1）有界性：即证明，利用数学归纳法，已知，假设，可得，由数学归纳法可得，即有上界。
2）单调性：，所以单调递增。
综上，根据单调有界收敛准则可知，数列收敛。
3）不妨设，代入，有，解得或（舍，因），故。
 【例2】：设，，试证数列的极限存在，并求此极限。
证明：
1）有界性：即证明，利用数学归纳法，已知，假设，可得，由数学归纳法可得，即有下界。
2）单调性：
，所以单调递减。
综上，根据单调有界收敛准则可知，数列收敛。
3）不妨设，代入，有，解得或（舍，因为），故。
总结：
1）根据递推公式证明数列极限存在的基本思路：首先证明数列单调有界，从而得到该数列极限存在；然后在等式两边同时取极限，得到方程，解出极限值。
2）证明数列单调有界的主要方法：
①先设出极限再求出极限值，对比极限值与数列前三项的大小关系确定证明数列单调递增还是单调递减、有上界还是有下界，以及上界或下界各是多少；
②证明时，先证有界性，再证单调性；
③为了更好地运用递推公式，证明过程中一般会用到数学归纳法。
以上根据具体问题给大家展示了利用单调有界收敛准则证明数列极限存在的具体分析思路和解题步骤，希望大家多总结方法，从题目中总结解题技巧和书写规范。希望对大家能够有所帮助。
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