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如何判断间断点的类型吗

来源：四川中公考研 2021-06-14

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【问题】老师，可以系统总结一下如何判断间断点的类型吗？

【解答】如果题目中指明间断点，计算出函数在各点的左右极限，再与间断点的分类标准对照即可.
如果题目中没有指明间断点，需要先找到所有的“可疑点”（包括两类，一是分段函数的分段点；二是使得分式的分母为零或对数函数的真数为零的点），计算出函数在各点的左右极限，再与间断点的分类标准对照即可.

第一类间断点：假设 x 为间断点，若 lim
f (x) 与 lim
f (x) 均存在，lim

x® x⁺
0f (x) = lim
x® x^-

f (x)
x® x
，则称点 x0
x® x^-
为函数
f (x)
的 可去间断点 ；如果

0 0im

x® x⁺
f (x) ¹ lim
x® x^-
f ( x) ，则称点 x0 为函数
f (x) 的跳跃间断点.

0 0
第二类间断点：假设 x 为间断点，若 lim
f (x) 与 lim
f (x) 中至少有一个不存在，

0 x® x⁺ x® x^-

如果 lim
0
f (x) 与 lim
0
f (x) 至少有一个为 ¥，则称点 x0 为函数
f (x) 的无穷间断点；如

果 lim

0
f (x) 与 lim
0
f (x) 均不为 ¥，则称点 x0 为函数
f (x) 的振荡间断点.

【总结】“判断间断点的类型”关键在于计算出函数在间断点、可疑点的左右极限，再与间断点的分类标准对照即可.

【练习】【2020-23-4 分】
1
ex-1 ln 1+ x
f (x) = (ex -1)(x - 2)
的第二类间断点的个数为（）

（A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 4

【答案】（C）

【解析】 f (x) 可能的间断点有 x = -1, x = 0, x =1, x = 2 ，由于 lim ln 1 + x
= -¥ ，

lim
x®-1 (ex
1

ex-1 ¹ 0
-1)(x - 2)
1
lim
x ®-1
f ( x) = ¥ ，则 x = -1 为 f (x) 的第二类（无穷）间断

点；lim f (x) = lim

ex-1 x

= - 又由于 f (x) 在 x = 0 处无定义，可知 x = 0 为 f (xx®0x®0 x(x - 2) 2e 1 ln(1+ x)lim f ( x) = ¥ 的第一类（可去）间断点；lim ex-1 = +¥ ，lim x0 ，则，xx®1x®1⁺ (e1)(x - 2) ®

1则 x = 1 为 f (x) 的第二类（无穷）间断点； lim 1 =¥ ， lim ex-1 ln(1+ x) ¹ 0 ，则

x®2 x - 2x®2ex -1

im f ( x) = ¥ ，则 x = 2 为 f (x) 的第二类（无穷）间断点. 综上所述， f (x) 的第二类间断点有3个，故选（C）.
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